理解代数式的本质提高学生数学素养

如何理解

在小学阶段我们学习的数学，主要针对数字运算，称为“算术”，在初中和高中阶段我们学习的数学，开始有了字母，用字母代替数字思维，称为“代数”。

那么我们到底该如何理解代数呢？不妨借助以下的案例来思考体会；

均值不等式案例

【案列1】均值不等式中$a$、$b$的内涵

初次学习时，我们用到的是这样的表达式：\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，\(a>0\)，\(b>0\)；

但是具体题目中更多的是用到这样的式子：

$x+\cfrac{2}{x}\geqslant 2\sqrt{2}(x >0)$；

$\cfrac{2}{x}+\cfrac{x}{2}\geqslant 2(x >0)$；

$2^x+2^y\geqslant 2\sqrt{2^{x+y}}$；

$log_a^b+log_b^a\geqslant 2(log_a^b >0)$；

$sinx+\cfrac{1}{sinx}\geqslant 2(0 < sinx \leqslant 0)$；

$\cfrac{a^2+b^2}{ab}=\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a}\geqslant 2(a，b>0)$；

看了以上这么多的式子，你能想到用一个式子统一刻画吗？

仔细想想，再看看是不是能用$ a+b\ge2\sqrt{ab}(a，b>0)$来表示！

反思：要注意理解\(a、b\)的内涵，如\(a、b\)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

数列案例

【案列2】数列中的$a_n$的内涵

比如你见到这样的式子 \(a_{n+1}－a_n = m\) (\(m\)常数)你一定会反应出数列\(\{a_n\}\)是等差数列，继续往下看，你会解读下列的等差数列吗？：

①\(\cfrac{1}{a_{n+1}}－\cfrac{1}{a_n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)是首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

②\(\cfrac{1}{S_{n+1}}－\cfrac{1}{S_n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)是首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

③\(\cfrac{a_{n+1}}{n+1}－\cfrac{a_n}{n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n}\}\)是首项为\(\cfrac{a_1}{1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

④\(\cfrac{n}{a_{n+1}+(n+1)}－\cfrac{n-1}{a_n+n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{n-1}{a_n+n}\}\)是首项为\(\cfrac{1-1}{a_1+1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑤\((a_{n+1}+(n+1))－(a_n + n) = m\)， 则数列\(\{a_n+n\}\)是首项为\(a_1+1\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑥\(a_{n+1}^2－a_n^2 = m\)，则数列\(\{a_n^2\}\)是首项为\(a_1^2\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑦\(log_m^\,{a_{n+1}^2}－log_m^\,{a_n^2} = p\)，则数列\(\{log_m^\,{a_n^2}\}\)是首项为\(log_m^\,{a_1^2}\)，公差为\(p\)的等差数列；

⑧\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，则数列\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)是首项为\(a_2-2a_1\)，公差为\(0\)的等差数列；

以上所列举的凡此种种，都是等差数列，

试问，你能将上述的表达式用一个数学式来刻画吗？

$$a_{n+1}-a_n=d(n\in N^*，d为常数)$$

因此务必理解透彻\(a_{n+1}\)和\(a_n\)的“内涵”；

再如下列引例：

①\(\cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1} = m\)， 则数列\(\{a_n+1\}\)是首项为\(a_1+1\)，公比为\(m\)的等比数列；

②\(\cfrac{a_{n+1}+(n+1)}{a_n + n} = m\)，则数列\(\{a_n+n\}\)是首项为\(a_1+1\)，公比为\(m\)的等比数列；

③\(\cfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = m\)，则数列\(\{a_n^2\}\)是首项为\(a_1^2\)，公比为\(m\)的等比数列；

④\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，则数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是首项为\(a_2-a_1\)，公比为\(2\)的等比数列；

以上所列举的凡此种种，都是等比数列，

试问，你能将上述的表达式用一个数学式来刻画吗？

\[\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(n\in N^*，q为常数) \]

不等式案例

【案例3】二次不等式中未知数的内涵

• 如\(x^2-3x+2\leqslant 0\)，如果能理解不等式中的\(x\)的内涵，\(x\Rightarrow 代数式\)，

则可以解决诸如这样的不等式：

$(2^x)^2-3\cdot (2^x)+2\leqslant 0；$

$(log_2^{\;\; x})^2-3\cdot (log_2^{\;\;x})+2\leqslant 0；$

$(2^x-2)^2-3\cdot (2^x-2)+2\leqslant 0；$

$(sinx+1)^2-3\cdot (sinx+1)+2\leqslant 0；$

$(\cfrac{1}{x})^2-3\cdot (\cfrac{1}{x})+2\leqslant 0；$

$(|x|+1)^2-3\cdot (|x|+1)+2\leqslant 0；$

【案例4】不等式证明中

• 由已经知道的结论或者容易证明的结论\(e^x\ge x+1\)，

用\(\cfrac{1}{n}\)替换\(x\)，则变形得到：\(e^{\frac{1}{n}}>\cfrac{1}{n}+1 (n\in N^*)\)；

• 再如由\(lnx\leq x-1\)，

用\(x+1\)替换\(x\)，变形得到$$ln(x+1)\leq x，$$

用\(\cfrac{1}{n}\)替换\(x\)，变形得到$$ln(\cfrac{1}{n}+1)<\cfrac{1}{n}(n\in N^*)$$

即可以得到：$$ln(\cfrac{1}{n}+1)=ln(n+1)-lnn<\cfrac{1}{n}(n\in N^*)$$

框图案例

【案例5】程序框图中

比如程序框图的循环体中有这样一句，\(t= log_3t\)

则执行第一次循环，左边的\(t\)的内涵为\(log_3t\)；即\(log_3t\Rightarrow t\)；

则执行第二次循环，左边的\(t\)的内涵为\(log_3(log_3t)\)；即\(log_3(log_3t)\Rightarrow t\)；

则执行第三次循环，左边的\(t\)的内涵为\(log_3[log_3(log_3t)]\)；即\(log_3[log_3(log_3t)]\Rightarrow t\)；